Задача

Параметры элементов цепи равны: ; ; ; ; .

Определить токи в цепи, падения напряжения на всех элементах, составить баланс мощностей и построить качественно векторную диаграмму/

Решение начинаем с построения схемы замещения и определения ее параметров. Для этого все ветви исходной схемы заменим их комплексными сопротивлениями –

;

;

;

Решение задачи для комплексных амплитуд можно искать любыми методами, известными из теории цепей постоянного тока. Воспользуемся для решения законом Ома, а затем законами Кирхгофа.

Решение с помощью закона Ома

Для определения токов найдем полное комплексное сопротивление цепи .

Теперь можно найти ток .

Ток распределяется по второй и третьей ветвям цепи. Пользуясь свойствами параллельного соединения, можно записать .

Отсюда

Проверим выполнение 1-го закона Кирхгофа: .

Решение с помощью законов Кирхгофа

Составим уравнения Кирхгофа для узла a и первого и второго контуров, показанных на рисунке.

Эти уравнения можно решить подстановкой из первого уравнения во второе, а затем или из третьего во второе. Однако современные математические пакеты программ имеют встроенные функции для решения систем линейных уравнений, но для этого их нужно представить в матричной форме записи в виде . Это несложно сделать, если учесть, что строки матрицы состоят из коэффициентов при неизвестных величинах в том порядке, в котором они включены в вектор , а – это вектор свободных членов. Тогда для нашей системы уравнений запись приобретает вид:

Очевидно, что в результате решения этой системы уравнений мы получим значения комплексных амплитуд в точности равные полученным ранее.

Определим теперь падения напряжения на элементах цепи и проверим выполнение второго закона Кирхгофа.

Как следует из приведенных расчетов, законы Кирхгофа выполняются для обоих контуров.

Таким образом, в нашей цепи протекают токи

и действуют напряжения

Для составления баланса мощностей найдем суммарные мощности активных и реактивных элементов цепи, причем реактивную мощность будем учитывать с положительным знаком для индуктивностей и с отрицательным знаком для емкостей.

Мощность источника электрической энергии равна

т.е. мощность рассеиваемая в цепи равна мощности создаваемой источником. Угол сдвига фаз между ЭДС и током можно получить вычитанием начальной фазы тока из начальной фазы ЭДС, но можно просто взять аргумент полного комплексного сопротивления цепи .

Построим теперь векторную диаграмму для нашей цепи.